Números Reales

Como todos saben se distinguen distintas clases de números:
Los números naturales 1,2,3,4,5... . El conjunto de todos ellos se representa por N.
Los números enteros ...,-2,-1,0,1,2,... cuyo conjunto se representa por Z.
Los números racionales que son cocientes de la forma p/q donde p ∈Z,q ∈N, cuyo conjunto
representamos por Q.
También estan otros números como √2, pi , o el número e (euler) que no son números racionales
y que se llaman, con una expresión no demasiado afortunada, "números irracionales". Pues
bien, el conjunto formado por todos los números racionales e irracionales se llama conjunto
de los números reales y se representa por R.
Esta claro que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.


Pues bien, una de las cosas más llamativas de los números es que a partir de un pequeño grupo
de propiedades pueden deducirse casi todas las demás. Vamos a destacar estas propiedades
básicas que, naturalmente, hacen referencia a las dos operaciones fundamentales que se pueden
hacer con los números: la suma y el producto. La suma de dos números reales x,y se escribe
x+y, representándose el producto por xy. Las propiedades básicas a que nos referimos son las
siguientes.

1.-Propiedades asociativas: (x+y)+z= x+(y+z) ; (xy)z = x(yz) para todos x,y, z en R.


2.-Propiedades conmutativas: x+y = y+x ; xy = yx para todos x,y en R.

3.- Elementos neutros: El 0 y el 1 son tan importantes que enunciamos seguidamente sus
propiedades: 0+x = x ; 1x = x para todo x∈R.

4.-Elementos opuesto e inverso: Para cada número real x hay un número real llamado opuesto
de x, que representamos por −x, tal que x+(−x) = 0.
Para cada número real x distinto de 0, x , 0, hay un número real llamado inverso de x, que
representamos por x−1, tal que xx−1 = 1.

5.- Propiedad distributiva: (x+y)z = xz+yz para todos x,y, z en R.


6.-Ley de tricotomía: Para cada número real x se verifica que o bien es x = 0, o bien x es positivo,
o bien su opuesto −x es positivo.

7.- Estabilidad de R+: La suma y el producto de números positivos es también un número
positivo.

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Círculos y Ecuaciones

Círculos


Ecuaciones de círculos


Bueno ahora hablaremos de los círculos y sus ecuaciones correspondientes, bueno, para que un punto P(x,y) este en el circulo con centro en C(a,b) y radio r, la distancia entre el punto P y el centro C debe ser igual al radio r como en la figura, y en lo cual r lo podremos comprobar con la formula de distancia entre dos puntos.

Para esto P esta en el circulo si y solo si 

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

Bueno a esta ecuación se le llama ecuación canónica del circulo con centro en (a,b) y radio r, veamos unos ejemplos para saber como acomodar la ecuación y los valores que nos den en ejercicios posteriores.

Ejemplos:

1.) El circulo con centro (3,1) y radio 2 tiene la siguiente ecuación  (x-3)^2 + (y-1)^2 = 4

2.) El circulo con centro (2,-1) y radio 3 tiene la siguiente ecuación  (x-2)^2 + (y+1)^2 = 9

3.)Ahora, ¿Que puntos tiene la siguiente ecuación? (x-4)^2 + (y-5)^2 = 25 , bueno con los ejemplos anteriores podemos determinar fácilmente los puntos que serian C (4,5) y radio 5

La ecuación cónica con centro en el origen (0,0) y radio r es

x^2 + y^2 = r

Por ejemplo si tenemos la ecuación del circulo con centro en el origen x^2 + y^2 = 5 pues significa que nuestro circulo tiene el centro en el origen y tiene un radio de 5 :)

Bueno hasta aquí se ve sencillo y lo es pero que tal si nos dan una ecuación digamos algo "Disfrazada" como por ejemplo 

                                                  x^2 + y^2 + 8x -6y +21=0

¿Que podemos hacer aquí?

Pues bien lo que tenemos que hacer es completar los cuadrados para poderlo factorizar, se puede utilizar una formula que es (A/2)^2 para completar cuadrados, bueno ahí que juntar los que tengan términos comunes así:    x^2 + 8x y  y^2 -6y y el termino independiente 21, para completar el cuadrado de las x usamos la formula  (A/2)^2 y ponemos (8/2)^2 = 16 y nos quedara ( x^2 + 8x +16) y para completar las y usamos la misma formula y ponemos (-6/2)^2=9 y nos quedara (y^2 -6y + 9), bueno de momento ya completamos los cuadrados y ahora vemos que agregamos a los valores de la x el numero 16 y a los de la y el numero 9entonces para igualar lo que agregamos ponemos también estos números del otro lado de la ecuación y nos quedara así :

                                 ( x^2 + 8x +16) + (y^2 -6y + 9) + 21 = 16 + 9

Factorizamos esta ecuación y el termino independiente lo pasamos a la derecha y nos queda:

                                            (x+4)^2 + (y-3)^2 = 25-21

                                            (x+4)^2 + (y-3)^2 = 4

Y de aquí podemos obtener los valores del centro y el radio del circulo.

Este proceso para completar cuadrados se puede aplicar a cualquier ecuación que tenga la siguiente forma

                                          x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0

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