Como todos saben se distinguen distintas clases de números:
Los números naturales 1,2,3,4,5... . El conjunto de todos ellos se representa por N.
Los números enteros ...,-2,-1,0,1,2,... cuyo conjunto se representa por Z.
Los números racionales que son cocientes de la forma p/q donde p ∈Z,q ∈N, cuyo conjunto
representamos por Q.
También estan otros números como √2, pi , o el número e (euler) que no son números racionales
y que se llaman, con una expresión no demasiado afortunada, "números irracionales". Pues
bien, el conjunto formado por todos los números racionales e irracionales se llama conjunto
de los números reales y se representa por R.
Esta claro que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Pues bien, una de las cosas más llamativas de los números es que a partir de un pequeño grupo
de propiedades pueden deducirse casi todas las demás. Vamos a destacar estas propiedades
básicas que, naturalmente, hacen referencia a las dos operaciones fundamentales que se pueden
hacer con los números: la suma y el producto. La suma de dos números reales x,y se escribe
x+y, representándose el producto por xy. Las propiedades básicas a que nos referimos son las
siguientes.
1.-Propiedades asociativas: (x+y)+z= x+(y+z) ; (xy)z = x(yz) para todos x,y, z en R.
2.-Propiedades conmutativas: x+y = y+x ; xy = yx para todos x,y en R.
3.- Elementos neutros: El 0 y el 1 son tan importantes que enunciamos seguidamente sus
propiedades: 0+x = x ; 1x = x para todo x∈R.
4.-Elementos opuesto e inverso: Para cada número real x hay un número real llamado opuesto
de x, que representamos por −x, tal que x+(−x) = 0.
Para cada número real x distinto de 0, x , 0, hay un número real llamado inverso de x, que
representamos por x−1, tal que xx−1 = 1.
5.- Propiedad distributiva: (x+y)z = xz+yz para todos x,y, z en R.
6.-Ley de tricotomía: Para cada número real x se verifica que o bien es x = 0, o bien x es positivo,
o bien su opuesto −x es positivo.
7.- Estabilidad de R+: La suma y el producto de números positivos es también un número
positivo.
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