Números Reales

Como todos saben se distinguen distintas clases de números:
Los números naturales 1,2,3,4,5... . El conjunto de todos ellos se representa por N.
Los números enteros ...,-2,-1,0,1,2,... cuyo conjunto se representa por Z.
Los números racionales que son cocientes de la forma p/q donde p ∈Z,q ∈N, cuyo conjunto
representamos por Q.
También estan otros números como √2, pi , o el número e (euler) que no son números racionales
y que se llaman, con una expresión no demasiado afortunada, "números irracionales". Pues
bien, el conjunto formado por todos los números racionales e irracionales se llama conjunto
de los números reales y se representa por R.
Esta claro que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.


Pues bien, una de las cosas más llamativas de los números es que a partir de un pequeño grupo
de propiedades pueden deducirse casi todas las demás. Vamos a destacar estas propiedades
básicas que, naturalmente, hacen referencia a las dos operaciones fundamentales que se pueden
hacer con los números: la suma y el producto. La suma de dos números reales x,y se escribe
x+y, representándose el producto por xy. Las propiedades básicas a que nos referimos son las
siguientes.

1.-Propiedades asociativas: (x+y)+z= x+(y+z) ; (xy)z = x(yz) para todos x,y, z en R.


2.-Propiedades conmutativas: x+y = y+x ; xy = yx para todos x,y en R.

3.- Elementos neutros: El 0 y el 1 son tan importantes que enunciamos seguidamente sus
propiedades: 0+x = x ; 1x = x para todo x∈R.

4.-Elementos opuesto e inverso: Para cada número real x hay un número real llamado opuesto
de x, que representamos por −x, tal que x+(−x) = 0.
Para cada número real x distinto de 0, x , 0, hay un número real llamado inverso de x, que
representamos por x−1, tal que xx−1 = 1.

5.- Propiedad distributiva: (x+y)z = xz+yz para todos x,y, z en R.


6.-Ley de tricotomía: Para cada número real x se verifica que o bien es x = 0, o bien x es positivo,
o bien su opuesto −x es positivo.

7.- Estabilidad de R+: La suma y el producto de números positivos es también un número
positivo.

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El sistema de coordenadas

En un plano escogemos un par de rectas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, la horizontal se llama el eje "x" y la vertical tiene el nombre de eje "y".

El origen para ambas es el punto O en donde se cortan, el eje x se orienta de izquierda a derecha y el eje y de arriba hacia abajo.

Coordenadas


Sea P cualquier punto del plano, la recta vertical que pasa por P corta al eje x en un solo punto; sea a la coordenada de este punto sobre el eje x, a este numero se le llama coordenada x o abscisa de P y la recta horizontal que pasa por P corta al eje y en un solo punto; sea b su coordenada sobre el eje y a este numero se le llama la coordenada de y de P u ordenada de P y de esta manera se puede concluir que todo punto P tiene un único par (a,b) de números reales que están asociados a un único punto de nuestro plano.
Hallar un punto en el plano es realmente sencillo pero pondré un ejemplo, el punto marcado P(a,b) tiene las coordenadas (4,4) para ubicarnos partimos del Origen (O) nos desplazamos sobre el eje x 4 unidades hacia la derecha (ya que es positivo) y otras cuatro unidades sobre el eje y hacia arriba por ser positivo y ahi estará nuestro punto marcado.

Formula para calcular la distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos P1 y P2 con coordenadas (x1, y1) y (x2, y2) es:

Teniendo las coordenadas de los dos puntos a los cuales queremos obtener su distancia se pueden sustituir los valores fácilmente en la formula, por ejemplo:

La distancia entre los puntos (2,5) y (7,17), aplicamos la formula 

d= Raíz [(2-7)^2 + (5-17)^2]

d= Raíz [(-5)^2 + (-12)^2] 

d= Raíz [(25)+(144)]

d= Raíz [(169)] 

d= 13

Como en este ejemplo y con cualquiera de los puntos se les puede obtener su distancia, es fácil con solo tener presente la formula de distancia entre dos puntos y sustituir los valores y hacer las operaciones.

Formula de Punto Medio

El punto M (x,y) que esta en el centro de algún segmento que une los puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2) tiene coordenadas:

Las coordenadas de ese punto medio son los promedios de las coordenadas de los puntos terminales

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