Círculos y Ecuaciones

Círculos


Ecuaciones de círculos


Bueno ahora hablaremos de los círculos y sus ecuaciones correspondientes, bueno, para que un punto P(x,y) este en el circulo con centro en C(a,b) y radio r, la distancia entre el punto P y el centro C debe ser igual al radio r como en la figura, y en lo cual r lo podremos comprobar con la formula de distancia entre dos puntos.

Para esto P esta en el circulo si y solo si 

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

Bueno a esta ecuación se le llama ecuación canónica del circulo con centro en (a,b) y radio r, veamos unos ejemplos para saber como acomodar la ecuación y los valores que nos den en ejercicios posteriores.

Ejemplos:

1.) El circulo con centro (3,1) y radio 2 tiene la siguiente ecuación  (x-3)^2 + (y-1)^2 = 4

2.) El circulo con centro (2,-1) y radio 3 tiene la siguiente ecuación  (x-2)^2 + (y+1)^2 = 9

3.)Ahora, ¿Que puntos tiene la siguiente ecuación? (x-4)^2 + (y-5)^2 = 25 , bueno con los ejemplos anteriores podemos determinar fácilmente los puntos que serian C (4,5) y radio 5

La ecuación cónica con centro en el origen (0,0) y radio r es

x^2 + y^2 = r

Por ejemplo si tenemos la ecuación del circulo con centro en el origen x^2 + y^2 = 5 pues significa que nuestro circulo tiene el centro en el origen y tiene un radio de 5 :)

Bueno hasta aquí se ve sencillo y lo es pero que tal si nos dan una ecuación digamos algo "Disfrazada" como por ejemplo 

                                                  x^2 + y^2 + 8x -6y +21=0

¿Que podemos hacer aquí?

Pues bien lo que tenemos que hacer es completar los cuadrados para poderlo factorizar, se puede utilizar una formula que es (A/2)^2 para completar cuadrados, bueno ahí que juntar los que tengan términos comunes así:    x^2 + 8x y  y^2 -6y y el termino independiente 21, para completar el cuadrado de las x usamos la formula  (A/2)^2 y ponemos (8/2)^2 = 16 y nos quedara ( x^2 + 8x +16) y para completar las y usamos la misma formula y ponemos (-6/2)^2=9 y nos quedara (y^2 -6y + 9), bueno de momento ya completamos los cuadrados y ahora vemos que agregamos a los valores de la x el numero 16 y a los de la y el numero 9entonces para igualar lo que agregamos ponemos también estos números del otro lado de la ecuación y nos quedara así :

                                 ( x^2 + 8x +16) + (y^2 -6y + 9) + 21 = 16 + 9

Factorizamos esta ecuación y el termino independiente lo pasamos a la derecha y nos queda:

                                            (x+4)^2 + (y-3)^2 = 25-21

                                            (x+4)^2 + (y-3)^2 = 4

Y de aquí podemos obtener los valores del centro y el radio del circulo.

Este proceso para completar cuadrados se puede aplicar a cualquier ecuación que tenga la siguiente forma

                                          x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0

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Ecuaciones y sus gráficos

Parábolas


Les hablare un poco de las parábolas, son muy conocidas y no son difíciles de trazar en un plano, bueno consideremos la ecuación y= x^2, si sustituimos los valores de x y calculamos los valores asociados de y se obtiene la siguiente gráfica

Los puntos obtenidos sugieren la curva dibujada que pertenece a la familia de curvas llamadas "Parábolas". En particular, los gráficos de estas ecuaciones con la forma de y=cx^2 en donde c es una constante no nula, son parábolas, así también como las curvas obtenidas de ellas por traslaciones y rotaciones.

Bueno en esta figura vemos que en la gráfica de y=x^2 tiene el origen en (0,0) pero el resto de sus puntos están encima del eje x ya que x^2 es positivo. Cuando x es positivo y creciente y crece sin limite, asi que en el primer cuadrante el gráfico sube sin limite al moverse hacia la derecha. Como (-x^2) = x^2 se sigue que si un punto (x,y) esta en el primer cuadrante, entonces el punto (-x,y) esta en el segundo cuadrante, luego el gráfico es simétrico respecto al eje y y a este eje se le llama "Eje de simetría" de la parábola

Elipses 

Para construir el grafico de la ecuacion x^2/9 + y^2/4 =1 se hacen los cálculos correspondientes que explique hace un tiempo y se obtiene una gráfica parecida a esta. El gráfico que sugieren estos puntos se ve en la figura y es un miembro de curvas de la familia elipses y su ecuación es x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

Hipérbolas

Una hipérbola es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

Los gráficos de ecuaciones de tipo x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 son hipérbolas al igual que las curvas obtenidas de ellas por traslación o rotación.

Bueno su formula de la hipérbola con centro en el origen queda 

Y la formula con centro en el punto (h,k) es

Secciones cónicas

Parábolas, elipses e hipérbolas todas ellas en conjunto constituyen una clase de curvas llamadas secciones cónicas y pueden ser definidas simétricamente como las intersecciones de planos con la superficie de un cono circular recto, como en esta figura 

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Teoremas sobre limites

Para facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a la definición Epsilón-Delta se establecen los siguientes teoremas.

Teorema de límite1:

Si  k es una constante y a un número cualquiera, entonces

Teorema de límite2:

Para cualquier número dado a,

Teorema de límite3:

Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces

Teorema de límite4:

Teorema de límite5:

Teorema de límite6:

Si  f es un polinomio y a es un número real, entonces

Teorema de límite7:

Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces

Teorema de límite8: