Círculos
Ecuaciones de círculos
Bueno ahora hablaremos de los círculos y sus ecuaciones correspondientes, bueno, para que un punto P(x,y) este en el circulo con centro en C(a,b) y radio r, la distancia entre el punto P y el centro C debe ser igual al radio r como en la figura, y en lo cual r lo podremos comprobar con la formula de distancia entre dos puntos.
Ecuaciones de círculos
Bueno ahora hablaremos de los círculos y sus ecuaciones correspondientes, bueno, para que un punto P(x,y) este en el circulo con centro en C(a,b) y radio r, la distancia entre el punto P y el centro C debe ser igual al radio r como en la figura, y en lo cual r lo podremos comprobar con la formula de distancia entre dos puntos.
Para esto P esta en el circulo si y solo si
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
Bueno a esta ecuación se le llama ecuación canónica del circulo con centro en (a,b) y radio r, veamos unos ejemplos para saber como acomodar la ecuación y los valores que nos den en ejercicios posteriores.
Ejemplos:
1.) El circulo con centro (3,1) y radio 2 tiene la siguiente ecuación (x-3)^2 + (y-1)^2 = 4
2.) El circulo con centro (2,-1) y radio 3 tiene la siguiente ecuación (x-2)^2 + (y+1)^2 = 9
3.)Ahora, ¿Que puntos tiene la siguiente ecuación? (x-4)^2 + (y-5)^2 = 25 , bueno con los ejemplos anteriores podemos determinar fácilmente los puntos que serian C (4,5) y radio 5
La ecuación cónica con centro en el origen (0,0) y radio r es
x^2 + y^2 = r
Por ejemplo si tenemos la ecuación del circulo con centro en el origen x^2 + y^2 = 5 pues significa que nuestro circulo tiene el centro en el origen y tiene un radio de 5 :)
Bueno hasta aquí se ve sencillo y lo es pero que tal si nos dan una ecuación digamos algo "Disfrazada" como por ejemplo
x^2 + y^2 + 8x -6y +21=0
¿Que podemos hacer aquí?
Pues bien lo que tenemos que hacer es completar los cuadrados para poderlo factorizar, se puede utilizar una formula que es (A/2)^2 para completar cuadrados, bueno ahí que juntar los que tengan términos comunes así: x^2 + 8x y y^2 -6y y el termino independiente 21, para completar el cuadrado de las x usamos la formula (A/2)^2 y ponemos (8/2)^2 = 16 y nos quedara ( x^2 + 8x +16) y para completar las y usamos la misma formula y ponemos (-6/2)^2=9 y nos quedara (y^2 -6y + 9), bueno de momento ya completamos los cuadrados y ahora vemos que agregamos a los valores de la x el numero 16 y a los de la y el numero 9entonces para igualar lo que agregamos ponemos también estos números del otro lado de la ecuación y nos quedara así :
( x^2 + 8x +16) + (y^2 -6y + 9) + 21 = 16 + 9
Factorizamos esta ecuación y el termino independiente lo pasamos a la derecha y nos queda:
(x+4)^2 + (y-3)^2 = 25-21
(x+4)^2 + (y-3)^2 = 4
Y de aquí podemos obtener los valores del centro y el radio del circulo.
Este proceso para completar cuadrados se puede aplicar a cualquier ecuación que tenga la siguiente forma
x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0
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