Ecuación general a ecuación ordinaria de la elipse

Para obtener los elementos de la elipse a partir de la ecuación general se debe pasar a la forma ordinaria completando los cuadrados.
A partir de la ecuación 9x² + 25y² + 18x -50y -191 = 0. Determina sus elementos y gráfica el lugar geométrico que representa.
Solución:


-Se tienen que agrupar los términos que contienen la variable x y hacer lo mismo con la variable y e igualar al termino independiente:
9(x² + 2x) + 25(y²- 2y) = 191

-Completar trinomios  en cada grupo sumando en cada uno el cuadrado de la mitad del segundo termino:
9(x² + 2x + (2/2²)) + 25(y²- 2y + (2/2²)) = 191 + 9(2/2²) + 25 (2/2²))


-Simplificamos lo anterior:
9(x² + 2x +1) + 25(y²- 2y + 1) = 191 + 9 + 25


-Factorizar los trinomios
9(x + 1)² + 25(y - 1)² = 225

-Dividir ambos miembros entre el termino independiente para igualar a 1:

(x + 1)²/25 + (y – 1)²/9 = 1  (ecuación ordinaria)

Datos para graficar a partir de la ecuación ordinaria:

a = 5        b = 3    C² = a² – b²       C²= 25 - 9     C²=16    c = 4

Centro(h,k)  C = (-1,1)
Vértices V(h+a,k) V(4,1)
             V'(h-a,k) V'(-6,1)
Focos F(h+c,k)  F(3,1)
          F'(h-c,k)  F'(-5,1)
Vértices del eje menor: B(h, k+b) B(-1,4)
                                    B'(h, k -b) B'(-1,-2)


LR =2b²/a  LR=3.6


Gráfica correspondiente:

Elipse con centro fuera del origen (partes)

Si el centro de la elipse se encuentra fuera del origen del plano y su eje focal es paralelo al eje x, se obtiene la siguiente ecuación:
(x – h)² /a² + (y – k)²/b² = 1 


Los elementos de la elipse son:
Centro: (h,k)
Vértices: V(h+a,k), V'(h-a,k)
Focos: F(h+c,k), F'(h-c,k)
Vértices del eje menor: B(h,k+b) B'(h,k-b)
Excentricidad: c/a
LR: 2b²/a

Si el centro de la elipse se encuentra fuera del origen del plano y su eje focal es paralelo al eje y, se obtiene la siguiente ecuación.

(x – h)² /b² + (y – k)²/a² = 1

Los elementos de la elipse son:
Centro: (h,k)
Vértices: V(h,k+a), V'(h,k-a)
Focos: F(h,k+c) F'(H,k-c)
Vértices del eje menor: B(h+b,k) B'(h-b,k)
Excentricidad: a/e
LR: 2b²/a

Ecuación general de la elipse con centro en el origen

Elipse: Se define como el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias no dirigidas a dos puntos fijo llamado foco es constante.

Partes de la elipse: 
C(0,0)
Eje mayor
Eje menor
Lado Recto (LR)
F y F´
V y V'
a, b, c
Distancia focal

Para determinar la ecuación de la elipse con centro en el origen se tiene esta
formula: x²/a² + y²/b²  = 1


Para determinar partes de la elipse:
Eje mayor = 2a
Eje menor = 2b

c² = a²-b²

LR = 2b²/a

Excentricidad e = c/a 

Ejemplo de aplicación: 
Hallar la ecuación ordinaria de la elipse con centro en el origen, eje mayor igual a 10 y el eje menor igual a 6. Hacer la gráfica, considera que el eje focal esta sobre el eje x.


Eje mayor 2a = 10
a = 10/2
a = 5
Eje menor 2b = 6
b = 6/2
b = 3


Ecuación: X²/25 + y²/9 = 1

c² = a²-b²
c² = 25 - 9
c² = 16
c = raiz de 16
c = 4


LR = 2b²/a
LR = 18/5
LR = 3.6


e = c/a
e = 4/5
e = 0.8


Vértices: v(5,0) v'(-5,0)
Centro (0,0)
Focos: F(4,0) F'(-4,0)
Vértices menores: B(0,3) B'(0,-3)

Movimiento en una dirección (tema de física)

La parte de la física que estudia el movimiento se llama mecánica, se divide en cinemática y dinámica.
Cinemática: Estudia el movimiento sin considerar sus causas
Dinámica: Estudia el movimiento de los cuerpos y las causas que lo producen.

Definiciones:
Distancia: es una cantidad escalar, solo consta de un numero y de una unidad.
Desplazamiento: es una cantidad vectorial que describe el cambio neto de la posición de un objeto.
Rapidez: la rapidez es la distancia recorrida en determinada cantidad de tiempo.
Rapidez media: se identifica como distancia recorrida entre tiempo transcurrido.(rapidez es una cantidad escalar)
Velocidad: es una magnitud vectorial igual al desplazamiento entre el tiempo recorrido.

Formulas:
v = d/t
t = d/v
d = vt

Problemas de aplicación: (ejemplos)


1.-¿Que distancia recorre una persona en 1.5 h si su rapidez media es de 2.2 m/s?

d = vt
d = (2.2 m/s)(5400 s) (el tiempo se transforma en segundos)
d = 11 880 m (si el resultado se desea poner en km se hace lo sig.)
d = 11880/1000
d = 11.88 km (si se desea poner el resultado en millas se hace lo sig.)

1 milla = 1609 m
      ?        11880 m (se hace la regla de tres )
d =7.38 millas


2.-Un pájaro puede volar a 25 km/h ¿cuantos minutos tardara en recorrer 18 km?

t = d/v
t = 18 km/ 25kmh
t = 0.72 h (lo convertimos a minutos usando una regla de tres)
1 hora = 60 minutos
0.72 h            ?
t = 43.2 minutos

3.-Una persona va a manejar de un san francisco a zacatecas, separados por una distancia de 170 km en 2 horas ¿ a que rapidez media debe conducir?

v = d/t
v = 170 km / 2 h
v = 85 km/h (si queremos expresar el resultado en m/s se convierten los kilómetros a metros y las horas a segundos)
v = 85 000 m / 3600 s
v = 23.61 m/s

Fueron algunas explicaciones y problemas resueltos de movimiento en una dirección

Distancia entre dos puntos

Siempre la distancia mas corta entre dos puntos es en linea recta, analíticamente se obtiene de la siguiente forma:

-Para obtener la distancia que existe entre dos puntos en forma horizontal se utiliza la formula: d=x2-x1
Ejemplo:
A(-4,5) B(6,5)
d=x2-x1

d= 6-(-4)
d=6+4
d=10


Nota: se puede observar que si contamos desde
el -4 hasta el 6 en forma horizontal obtenemos la
distancia de 10














-Para obtener la distancia que existe entre dos puntos de forma vertical se utiliza la formula: d= y2-y1
Ejemplo:
A(2,4) B(2,-3)
d= y2-y1
d=-3-4
d=-7
d= 7

Nota: en la ecuación el resultado es negativo,
pero se cambia a positivo porque es una distancia y no hay distancias reales negativas, y si se cuenta de 4 a -3 tendremos una distancia de 7.







-Para obtener la distancia entre dos puntos en una recta de forma oblicua (inclinada) se utiliza la siguiente formula : d= √(x2-x1)2+(y2-y1)2 
Ejemplo:

A(5,4) B(-3,-2)
d= √(x2-x1)2+(y2-y1)2 
d=√(-3-5)2 + (-2-4)2 <-----(son al cuadrado)
d= √(-8)2 + (-6)2
d= √64+36
d= √100
d=10

Plano Cartesiano

El plano cartesiano esta formado por dos rectas numéricas, una de forma horizontal (es el eje de las abscisas "x") y la otra vertical (es el eje de las ordenadas "y") y son cortadas en un punto al que se le llama (origen). 

El plano cartesiano también esta dividido en cuatro cuadrantes y tiene como finalidad ubicar los puntos en el plano, uno en el eje "x" y otro en el eje "y" y a este punto le podemos llamar P(x,y).

Para poder localizar un punto en el plano cartesiano se localizan primero los valores en el eje x, sea para la izquierda (si es negativo) o para la derecha (si es positivo), después se localizan los valores en el eje y, sea para arriba (si es positivo) o hacia abajo (si es negativo).

Ejemplos de puntos en el plano con sus coordenadas:

A(-5,-4)

B(-2,0)

C(0,4)

D(3,5)

E(0,-3)

F(2,0)

G(5.5,-2)

H(-7,6)