Conjuntos

 

En matemáticas, un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos de la colección pueden ser cualquier cosa:personas, números, colores, letras, figuras, etc.

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si consideramos la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular el orden en el que se representen estos es irrelevante. Además, cada elemento puede aparecer de manera idéntica una sola vez, esto es, no puede haber elementos totalmente idénticos repetidos. Por ejemplo:

S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Añil, Azul}

 

 

Algoritmo de Euclides

El algoritmo de Euclides es un método antiguo y eficaz para calcular el máximo común divisor (MCD).
El algoritmo de Euclides extendido es una ligera modificación que permite además expresar al máximo común divisor como una combinación lineal. Este algoritmo tiene aplicaciones en diversas áreas como álgebra, teoría de números y ciencias de la computación entre otras.
En este video se puede apreciar el algoritmo de Euclides, se muestran algunos ejemplos y la forma en que se resuelven, explicandolo de una manera sencilla.

Conjuntos

Un conjunto es una colección bien definida de objetos llamados elementos. Las letras A,B,C, etc, representan conjuntos y las letras minúsculas a,b,c etc, representan elementos.

                                          A= {a,b,c,d,e...etc.}

Dado un conjunto  A= {a,b,c,d,e...etc.} la relación de pertenencia se representa por a∈A.

Conjunto vacío

Se llama conjunto vacío y se representa por Ø, al conjunto que no tiene ningún elemento.

A={Los perros vuelan}                                    A={     }           A= Ø         

B={x/x es un mes de 53 días}                       B={     }           B= Ø       

C={x/x3=8 y x es impar}                                 C= {     }           C= Ø        

D={x/x es un día de 90 horas}                      D={     }           D= Ø

Complemento de un conjunto

Dado un conjunto A, se llama complementario del mismo, y se representa por A^C, al conjunto formado por elementos del universo que no son de A.

                                                    

                                                                    A^C ={x/x∈u y x(no pertenece)A}   

Ejemplo                                                                        

-Sea U={a,b,c,d,e}   y A={b,d,c}             

A^C = {e,a}

    

Subconjuntos

Se dice que A es subconjunto de B, y se representa A⊂B, si todos los elementos de A pertenecen a B. Se dice que también A  esta incluido en B

 Unión de conjuntos

La unión de conjuntos A y B, es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen  A o a B o a ambos. Se denota.

                                             AUB= {x/x∈A o x(no pertenece) a B }   

Ejemplo:

Intersección de conjuntos

Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos que son comunes A y B. A ∩ B, también se puede definir.

                                                       A ∩ B = {x/x ∈ A y x ∈ B }   

Ejemplo

Diferencia de conjuntos

Se denota diferencia de conjuntos  A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B. La diferencia se denota por: A-B que se lee A diferencia de B o A menos B. Se define como:

                                               

                                                 A-B= {x/x∈A y x(no pertenece)B}   

Facebook:https://www.facebook.com/MateAprendizaje
Twitter:https://twitter.com/MateEnsenanzas
Youtube:http://www.youtube.com/user/tutomatematicas

                                                                                

    

Funciones y Modelos

Una función se puede representar mediante diferentes formas:

• Ecuaciones 
• Gráficas
• Tablas
• Palabras

Las funciones surgen cuando una cantidad depende de la otra, por ejemplo:

• El área de un circulo depende del radio. La regla que se relaciona "y" con A se expresa mediante,        A=πrʌ2. El valor de r  (positivo para que exista un área real) esta asociado con un valor de A, por lo tanto, A es función r y se expresa A---f(r)---A(r). (Ejemplo de función mediante ecuación).
• La aceleración "a" medida por un sismo grafo en función del tiempo "t", por lo tanto, a(t). (Ejemplo de ecuación mediante gráfica).

• La población humana "p" depende del tiempo "t". La tabla muestra una estimación de "p" en el tiempo "t", por lo tanto, p(t). (Ejemplo de ecuación mediante tabla)

                                                          Año                           Población

                                                         1900                               1650

                                                         1920                               1860

                                                         1940                               2300

                                                         1960                               3040

                                                         1980                               4450

                                                         2000                               6080

• El costo "c" de enviar una carta por correo depende de su peso "w", por lo tanto c(w). (Ejemplo de ecuación mediante palabras).

Una función "f" es una regla que asigna a cada elemento de x de un conjunto D, exactamente un elemento llamado f(x) de un conjunto "E".

Generalmente se considera funciones para los cuales D y E son conjuntos de números reales:

• El conjunto D se llama dominio de la función.
• El numero f(x) es el valor de f en x, se lee f de x
• El intervalo de f es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) o sea E
• El símbolo que representa el dominio se llama "variable independiente"
• El símbolo que representa el intervalo de f(x) se llama variable dependiente.

Visitanos en Facebook: https://www.facebook.com/MateAprendizaje
Siguenos en Facebook: https://twitter.com/MateEnsenanzas

Números Reales

Como todos saben se distinguen distintas clases de números:
Los números naturales 1,2,3,4,5... . El conjunto de todos ellos se representa por N.
Los números enteros ...,-2,-1,0,1,2,... cuyo conjunto se representa por Z.
Los números racionales que son cocientes de la forma p/q donde p ∈Z,q ∈N, cuyo conjunto
representamos por Q.
También estan otros números como √2, pi , o el número e (euler) que no son números racionales
y que se llaman, con una expresión no demasiado afortunada, "números irracionales". Pues
bien, el conjunto formado por todos los números racionales e irracionales se llama conjunto
de los números reales y se representa por R.
Esta claro que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.


Pues bien, una de las cosas más llamativas de los números es que a partir de un pequeño grupo
de propiedades pueden deducirse casi todas las demás. Vamos a destacar estas propiedades
básicas que, naturalmente, hacen referencia a las dos operaciones fundamentales que se pueden
hacer con los números: la suma y el producto. La suma de dos números reales x,y se escribe
x+y, representándose el producto por xy. Las propiedades básicas a que nos referimos son las
siguientes.

1.-Propiedades asociativas: (x+y)+z= x+(y+z) ; (xy)z = x(yz) para todos x,y, z en R.


2.-Propiedades conmutativas: x+y = y+x ; xy = yx para todos x,y en R.

3.- Elementos neutros: El 0 y el 1 son tan importantes que enunciamos seguidamente sus
propiedades: 0+x = x ; 1x = x para todo x∈R.

4.-Elementos opuesto e inverso: Para cada número real x hay un número real llamado opuesto
de x, que representamos por −x, tal que x+(−x) = 0.
Para cada número real x distinto de 0, x , 0, hay un número real llamado inverso de x, que
representamos por x−1, tal que xx−1 = 1.

5.- Propiedad distributiva: (x+y)z = xz+yz para todos x,y, z en R.


6.-Ley de tricotomía: Para cada número real x se verifica que o bien es x = 0, o bien x es positivo,
o bien su opuesto −x es positivo.

7.- Estabilidad de R+: La suma y el producto de números positivos es también un número
positivo.

Visitanos en Facebook: https://www.facebook.com/MateAprend
Siguenos en Facebook: https://twitter.com/MateEnsenanzas

Círculos y Ecuaciones

Círculos


Ecuaciones de círculos


Bueno ahora hablaremos de los círculos y sus ecuaciones correspondientes, bueno, para que un punto P(x,y) este en el circulo con centro en C(a,b) y radio r, la distancia entre el punto P y el centro C debe ser igual al radio r como en la figura, y en lo cual r lo podremos comprobar con la formula de distancia entre dos puntos.

Para esto P esta en el circulo si y solo si 

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

Bueno a esta ecuación se le llama ecuación canónica del circulo con centro en (a,b) y radio r, veamos unos ejemplos para saber como acomodar la ecuación y los valores que nos den en ejercicios posteriores.

Ejemplos:

1.) El circulo con centro (3,1) y radio 2 tiene la siguiente ecuación  (x-3)^2 + (y-1)^2 = 4

2.) El circulo con centro (2,-1) y radio 3 tiene la siguiente ecuación  (x-2)^2 + (y+1)^2 = 9

3.)Ahora, ¿Que puntos tiene la siguiente ecuación? (x-4)^2 + (y-5)^2 = 25 , bueno con los ejemplos anteriores podemos determinar fácilmente los puntos que serian C (4,5) y radio 5

La ecuación cónica con centro en el origen (0,0) y radio r es

x^2 + y^2 = r

Por ejemplo si tenemos la ecuación del circulo con centro en el origen x^2 + y^2 = 5 pues significa que nuestro circulo tiene el centro en el origen y tiene un radio de 5 :)

Bueno hasta aquí se ve sencillo y lo es pero que tal si nos dan una ecuación digamos algo "Disfrazada" como por ejemplo 

                                                  x^2 + y^2 + 8x -6y +21=0

¿Que podemos hacer aquí?

Pues bien lo que tenemos que hacer es completar los cuadrados para poderlo factorizar, se puede utilizar una formula que es (A/2)^2 para completar cuadrados, bueno ahí que juntar los que tengan términos comunes así:    x^2 + 8x y  y^2 -6y y el termino independiente 21, para completar el cuadrado de las x usamos la formula  (A/2)^2 y ponemos (8/2)^2 = 16 y nos quedara ( x^2 + 8x +16) y para completar las y usamos la misma formula y ponemos (-6/2)^2=9 y nos quedara (y^2 -6y + 9), bueno de momento ya completamos los cuadrados y ahora vemos que agregamos a los valores de la x el numero 16 y a los de la y el numero 9entonces para igualar lo que agregamos ponemos también estos números del otro lado de la ecuación y nos quedara así :

                                 ( x^2 + 8x +16) + (y^2 -6y + 9) + 21 = 16 + 9

Factorizamos esta ecuación y el termino independiente lo pasamos a la derecha y nos queda:

                                            (x+4)^2 + (y-3)^2 = 25-21

                                            (x+4)^2 + (y-3)^2 = 4

Y de aquí podemos obtener los valores del centro y el radio del circulo.

Este proceso para completar cuadrados se puede aplicar a cualquier ecuación que tenga la siguiente forma

                                          x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0

Dale like en Facebook :)

Sígueme en twitter :)

Suscribete a mi canal de youtube :)

Ecuaciones y sus gráficos

Parábolas


Les hablare un poco de las parábolas, son muy conocidas y no son difíciles de trazar en un plano, bueno consideremos la ecuación y= x^2, si sustituimos los valores de x y calculamos los valores asociados de y se obtiene la siguiente gráfica

Los puntos obtenidos sugieren la curva dibujada que pertenece a la familia de curvas llamadas "Parábolas". En particular, los gráficos de estas ecuaciones con la forma de y=cx^2 en donde c es una constante no nula, son parábolas, así también como las curvas obtenidas de ellas por traslaciones y rotaciones.

Bueno en esta figura vemos que en la gráfica de y=x^2 tiene el origen en (0,0) pero el resto de sus puntos están encima del eje x ya que x^2 es positivo. Cuando x es positivo y creciente y crece sin limite, asi que en el primer cuadrante el gráfico sube sin limite al moverse hacia la derecha. Como (-x^2) = x^2 se sigue que si un punto (x,y) esta en el primer cuadrante, entonces el punto (-x,y) esta en el segundo cuadrante, luego el gráfico es simétrico respecto al eje y y a este eje se le llama "Eje de simetría" de la parábola

Elipses 

Para construir el grafico de la ecuacion x^2/9 + y^2/4 =1 se hacen los cálculos correspondientes que explique hace un tiempo y se obtiene una gráfica parecida a esta. El gráfico que sugieren estos puntos se ve en la figura y es un miembro de curvas de la familia elipses y su ecuación es x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

Hipérbolas

Una hipérbola es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

Los gráficos de ecuaciones de tipo x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 son hipérbolas al igual que las curvas obtenidas de ellas por traslación o rotación.

Bueno su formula de la hipérbola con centro en el origen queda 

Y la formula con centro en el punto (h,k) es

Secciones cónicas

Parábolas, elipses e hipérbolas todas ellas en conjunto constituyen una clase de curvas llamadas secciones cónicas y pueden ser definidas simétricamente como las intersecciones de planos con la superficie de un cono circular recto, como en esta figura 

Dale like en Facebook :)

Sígueme en twitter :)

Suscribete a mi canal de youtube :)

Teoremas sobre limites

Para facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a la definición Epsilón-Delta se establecen los siguientes teoremas.

Teorema de límite1:

Si  k es una constante y a un número cualquiera, entonces

Teorema de límite2:

Para cualquier número dado a,

Teorema de límite3:

Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces

Teorema de límite4:

Teorema de límite5:

Teorema de límite6:

Si  f es un polinomio y a es un número real, entonces

Teorema de límite7:

Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces

Teorema de límite8:

El sistema de coordenadas

En un plano escogemos un par de rectas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, la horizontal se llama el eje "x" y la vertical tiene el nombre de eje "y".

El origen para ambas es el punto O en donde se cortan, el eje x se orienta de izquierda a derecha y el eje y de arriba hacia abajo.

Coordenadas


Sea P cualquier punto del plano, la recta vertical que pasa por P corta al eje x en un solo punto; sea a la coordenada de este punto sobre el eje x, a este numero se le llama coordenada x o abscisa de P y la recta horizontal que pasa por P corta al eje y en un solo punto; sea b su coordenada sobre el eje y a este numero se le llama la coordenada de y de P u ordenada de P y de esta manera se puede concluir que todo punto P tiene un único par (a,b) de números reales que están asociados a un único punto de nuestro plano.
Hallar un punto en el plano es realmente sencillo pero pondré un ejemplo, el punto marcado P(a,b) tiene las coordenadas (4,4) para ubicarnos partimos del Origen (O) nos desplazamos sobre el eje x 4 unidades hacia la derecha (ya que es positivo) y otras cuatro unidades sobre el eje y hacia arriba por ser positivo y ahi estará nuestro punto marcado.

Formula para calcular la distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos P1 y P2 con coordenadas (x1, y1) y (x2, y2) es:

Teniendo las coordenadas de los dos puntos a los cuales queremos obtener su distancia se pueden sustituir los valores fácilmente en la formula, por ejemplo:

La distancia entre los puntos (2,5) y (7,17), aplicamos la formula 

d= Raíz [(2-7)^2 + (5-17)^2]

d= Raíz [(-5)^2 + (-12)^2] 

d= Raíz [(25)+(144)]

d= Raíz [(169)] 

d= 13

Como en este ejemplo y con cualquiera de los puntos se les puede obtener su distancia, es fácil con solo tener presente la formula de distancia entre dos puntos y sustituir los valores y hacer las operaciones.

Formula de Punto Medio

El punto M (x,y) que esta en el centro de algún segmento que une los puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2) tiene coordenadas:

Las coordenadas de ese punto medio son los promedios de las coordenadas de los puntos terminales

Like en Facebook

Suscribete en mi canal de Youtube

Sígueme en Twitter

Sistema Solar...en miniatura

Nuestro Sistema Solar


Bueno hoy les hablare sobre nuestro pequeño sistema solar, bueno la verdad no es nada pequeño :); les contare que como sabemos las distancias que existen entre el sol y los planetas son muy grandes, y también sus tamaños, y como son muy grandes, cuando vemos las medidas y todo eso, no se nos hace así como para decir wow!!; bueno al menos a mi :), por eso estaba pensando en el transcurso de estos días como compararía esas distancias, tamaños en escalas pequeñas, veremos :).

Las escalas que utilizare es
1mm = 1km



El sol es una estrella espectral G2 y se encuentra en medio del sistema solar, tiene 1 392 000 km de diámetro que en la escala vendría siendo un diámetro de 1 392 000 mm (que equivaldría a 1.392 km) aun así en esta escala es muy grande su diámetro, su masa es 1.9891*10^27 toneladas que seria 1.9891*10^27g (equivaldría a 1.9891*10^21 toneladas), la distancia del sol a la tierra la tomaremos como 150 000 000 km = 150 000 000 mm (equivalente a 150 km).

Mercurio es el planeta mas cercano al sol, tiene un diámetro de 4879.4 km = 4879.4 mm (equivalente a 4.8794 metros), la distancia del sol a mercurio son 57 910 000 km= 57 910 000mm (equivalente a 57.91 km).

Venus es el segundo planeta mas cercano al sol, tiene un diámetro de 12 103.6 km =12 103.6 mm (que equivale a 12.1036 metros), la distancia del sol a venus es de 108 200 000 km= 108 200 000 mm (equivalente a 108.2 km).

Tierra es el tercer planeta de distancia del sistema solar, tiene un diámetro de 12756 km =12756 mm (que equivalen a 12.756 metros), la distancia del sol a la tierra es de 150 000 000 km = 150 000 000 mm (equivalente a 150 km)

Marte es el cuarto planeta mas cerca del sol, tiene un diámetro de 6.794,4 km=6.794,4 mm (equivalente a 6.7944 metros), y la distancia que lo separa del sol es de 227 940 000km=227 940 000 (equivalente a 227.94 km).

Júpiter uno de mis favoritos, es el quinto planeta, es una planeta muy grande, tiene un diámetro de 142 984 km = 142 984 mm (equivalente a 142.984 metros), la distancia que lo separa del sol es de 778 330 000 km = 778 330 000 mm (equivalente a 778.33 km).

Saturno es el sexto planeta, un planeta muy bello, tiene un diámetro de 120 536 km = 120 536 mm (equivalente a 120.536 metros). la distancia que separa a saturno del sol es de 1 429 400 000 km = 1 429 400 000 mm (equivalente a 1429.4 km).

Urano es el séptimo planeta, su diámetro abarca 51 118 km = 51 118 mm (equivalente a 51.11 metros), la distancia que lo separa del sol es de 2 870 990 000 km = 2 870 990 000 mm (equivalentes a 2870.99 km)

Neptuno es el octavo planeta del sistema solar, es una planeta gaseoso, este planeta tiene un diámetro de 49 572 km = 49 572 mm (equivalentes a 49.572 metros) y una separación del sol de 4 504 300 000 km = 4 504 300 000 mm (que son igual a 4504.3 km).

Pluton Pluton es un planeta enano, esta en una categoría de plutoide, tiene un diámetro de 2390 km = 2390 mm (equivalente a 2.39 metros), tiene una gran separación del sol de 5 913 520 000 km (equivalente a 5913.52 km)

Comparaciones 

El sol con este diámetro a escala tendría un volumen de 1 412 265 429 m3, mercurio cabria dentro del sol un poco mas de 23 millones de veces, venus un poco mas de un millón y medio de veces, la tierra casi 1.2 millones de veces, marte 8.6 millones , júpiter 922 veces, saturno 1540 veces, Urano un poco mas de 20 000 veces, Neptuno mas de 22 000 veces, y Pluton casi 200 millones de veces.

Creo que ahora viendo las medidas y todo a estas escalas mas conocidas, se ve la gran magnitud de los planetas y del sol, es otro punto de vista para ver las cosas :).

Esta es una escala tomando como referencia el estado de San Luis Potosí, México, como el centro donde se encuentra el sol, y de ahí parten los planetas, lamento que solo pudiera poner hasta júpiter, pero como verán aunque estén a escalas muy reducidas, las magnitudes de distancias siguen siendo grandes :)

Bueno eso es todo, es un pequeño punto de vista sobre cosas y curiosidades en las cuales me gusta observar

Cesar Piloto

Cesar Piloto

 

Facebook:  https://www.facebook.com/MateAprendizaje 

Twitter:  https://twitter.com/#!/MateEnsenanzas 

Youtube: http://www.youtube.com/user/tutomatematicas